Stieltjes-Integral

Stieltjes-Integral

 

[nach T. J. Stieltjes], eine Verallgemeinerung des riemannschen Integrals: Sind f und g auf dem Intervall [a, b] definierte reelle Funktionen, ist f stetig und g endlich und von beschränkter Variation (z. B. monoton wachsend), ist a = x₀ < x₁ <. .. em>x_n—1 < x_n = b eine Zerlegung von [a, b] und x_i—1 ≦ y_i ≦ x_i für 1 ≦ i ≦ n, so heißt die von der Funktion f, der Zerlegung, den Stützstellen y_i und g abhängige Summe

 

eine Stieltjes-Summe von f. Mit zunehmender Verfeinerung der Zerlegungen von [a, b] konvergieren die Stieltjes-Summen gegen das Stieltjes-Integral von f bezüglich g, d. h., zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 so, dass für jede Zerlegung von [a, b], deren Teilintervalle höchstens die Länge δ besitzen, und beliebige Wahl von Stützstellen die Differenz zwischen der zugehörigen Stieltjes-Summe und dem Stieltjes-Integral kleiner als ε ist. Das Stieltjes-Integral findet insbesondere Anwendung bei der Berechnung von Schwerpunkten und Trägheitsmomenten.